Заметки вслух: 2013

понедельник, 8 июля 2013 г.

О сумме Cos[x/2] Cos[x/4] Cos[x/8] …

[черновик]

1. Постановка задачи

Найти произведение:

$P = \cos{\frac{x}{2}} \ \cos{\frac{x}{4}} \ \cos{\frac{x}{8}} \ \ldots$

2. Определяем частичные произведения и переходим к суммам косинусов

Определим частичное произведение следующим образом:

$P_n = \cos{\frac{x}{2}} \ \cos{\frac{x}{4}} \ \ldots \ \cos{\frac{x}{2^n}}.$

С помощью формулы Эйлера покажем, что

$P_n = \frac{1}{2^{n-1}} \left({ \cos{\frac{x}{2^n}} + \cos{\frac{3x}{2^n}} + \ldots + \cos{\frac{(2^n-1)x}{2^n}} }\right) = \frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=1}^{2^{n-1}}{\cos{\frac{(2k-1) x}{2^n}}}.$

3. Телескопируем сумму косинусов

Сначала разбиваем сумму на две:

$\sum_{k=1}^{2^{n-1}}{\cos{\frac{(2k-1) x}{2^n}}} = \sum_{k=0}^{2^n}{\cos{\frac{kx}{2^n}}} - \sum_{k=0}^{2^{n-1}}{\cos{\frac{kx}{2^{n-1}}}}.$

Применим формулу телескопирования для сумм косинусов:

$\sum_{k=0}^{n}{\cos{kx}} = \frac{1}{2}\left({\sin{xn} \ \cot{\frac{x}{2}} + \cos{xn} + 1}\right)$
получим
$\sum_{k=0}^{2^n}{\cos{\frac{kx}{2^n}}} = \frac{1}{2}\left({\sin{x} \ \cot{\frac{x}{2^{n+1}}} + \cos{x} + 1}\right),$
$\sum_{k=0}^{2^{n-1}}{\cos{\frac{kx}{2^{n-1}}}} = \frac{1}{2}\left({\sin{x} \ \cot{\frac{x}{2^n}} + \cos{x} + 1}\right).$

Итоговая формула для частичного произведения:

$P_n = \frac{\sin{x}}{2^n}\left({\cot{\frac{x}{2^{n+1}}} - \cot{\frac{x}{2^n}}}\right).$

4. Переходим к пределу в частичном произведении

Не сложно показать, что в окрестности m=0:

$\cot{\frac{xm}{2}} - \cot{xm} = \frac{1}{mx} + O(m).$

Таким образом:

$\lim_{m\rightarrow{0}}{\left({m \big({\cot{\frac{xm}{2}} - \cot{xm}}\big)}\right)} = \frac{1}{x}.$

$P = \lim_{n\rightarrow{+\infty}}{\frac{\sin{x}}{2^n}\left({\cot{\frac{x}{2^{n+1}}} - \cot{\frac{x}{2^n}}}\right)} = \Big[{m = 2^{-n}}\Big] = \frac{\sin{x}}{x}.$

Q.E.D.

понедельник, 18 февраля 2013 г.

Планирую поездку в Екатеринбург с 23 февраля по 1 марта

Если кто-нибудь хочет со мной встретиться, то пишите. Почти наверняка можно будет что-нибудь придумать.

вторник, 8 января 2013 г.

Мысли о собственных детях

Сегодня ночью ко мне пришла мысль, которая принесла чувство горечи: в 27 лет у меня не будет собственных детей.

Песок в моих сандалиях

(Dido – Sand In My Shoes)

Прошло две недели, и такое ощущение, что мир изменился…
Но теперь я дома, и все выглядит по-старому.
Наверное, я распакую вещи завтра, попытаюсь забыть на еще одну ночь, что я вернулась в свою квартиру
у дороги, где машины ни на минуту не перестают мчаться сквозь тьму,
К жизни, в которой я не могу смотреть на закат: у меня просто нет времени, нет времени.

В моих сандалиях все еще остался песок, и я не могу не думать о тебе.
Я должна проснуться, забыть тебя. Но с какой стати я должна этого хотеть?
Я знаю, мы попрощались, иначе все было бы так запутано.
Но я хочу снова тебя увидеть.

Завтра снова на работу, и снова надо браться за ум,
Мне следовало бы принять ванну, затем разобрать тот бардак, который я устроила, перед тем как уехала…
Попытаться вспомнить, что я была здесь счастлива, пока не узнала, что могу сесть на самолет и улететь прочь
От дороги, по которой машины ни на минуту не перестают мчаться сквозь тьму,
К жизни, где я могу смотреть на закат, и не торопиться,
Никуда не торопиться.

Прошло две недели. Это время изменило меня и мои взгляды.
Я ушла, и ни разу не сказала, что я хочу тебя снова увидеть.