понедельник, 8 июля 2013 г.

О сумме Cos[x/2] Cos[x/4] Cos[x/8] …

[черновик]

1. Постановка задачи

Найти произведение:

2. Определяем частичные произведения и переходим к суммам косинусов

Определим частичное произведение следующим образом:

С помощью формулы Эйлера покажем, что

3. Телескопируем сумму косинусов

Сначала разбиваем сумму на две:

Применим формулу телескопирования для сумм косинусов:


получим

Итоговая формула для частичного произведения:

4. Переходим к пределу в частичном произведении

Не сложно показать, что в окрестности m=0:

Таким образом:

Q.E.D.

Комментариев нет: